L’axe MA2D structure une communauté d’une centaine de membres répartis sur l’ensemble du territoire et dont les thématiques de recherche s’articulent autour de la théorie analytique, élémentaire et probabiliste des nombres, la combinatoire additive et l’approximation diophantienne. Ces branches de la théorie des nombres se caractérisent notamment par la simplicité des énoncés des questions qu’elles explorent, dont la plupart sont extrêmement difficiles à résoudre. Il existe une forte tradition française autour de ces thématiques et la grande diffusion géographique de cet axe est un atout important qui permet un échange fructueux entre ses membres, ainsi qu’une mobilité des doctorant·e·s et jeunes chercheurs entre les différents laboratoires.
La théorie analytique des nombres utilise des méthodes d’analyse et de probabilités pour étudier des questions concernant les nombres entiers. Ce domaine a connu des progrès spectaculaires durant les deux dernières décennies et encore tout récemment avec les travaux de Matomäki-Radziwill sur les fonctions multiplicatives dans les intervalles courts et les avancées spectaculaires de Maynard sur la répartition des nombres premiers.
La combinatoire additive étudie la structure et les propriétés d’ensembles d’entiers, ou plus généralement de sous-ensembles d’un groupe, qui ne dépendent que des relations additives entre ses éléments. Ce domaine est lui aussi en plein essor, notamment suite au développement de l’analyse de Fourier d’ordre supérieur par Gowers, et aux travaux remarquables de Green et Tao (par exemple sur l’existence de progressions arithmétiques arbitrairement longues dans l’ensemble des nombres premiers).
L’approximation diophantienne est une branche ancienne de la théorie des nombres qui, sous sa forme originelle, étudie l’approximation des nombres réels par les nombres rationnels. Elle entretient des liens étroits avec les aspects analytiques de la théorie des nombres (aspects métriques, équirépartition…) et les systèmes dynamiques. Par exemple, une des conjectures les plus importantes de ce domaine, la conjecture de Duffin-Schaeffer qui datait de 1941, vient tout juste d’être démontrée par Koukoulopoulos et Maynard en utilisant des outils de théorie analytique des nombres et de théorie des graphes. On peut également citer les travaux de Einsiedler, Katok et Lindenstrauss sur la conjecture de Littlewood en approximation diophantienne, qui sont principalement fondés sur des méthodes dynamiques.
Comme l’illustrent ces quelques exemples, les différentes composantes de l’axe MA2D possèdent des interactions très fortes. En effet, la relation entre la structure multiplicative des entiers qui est un thème central en théorie analytique des nombres, et leurs structure additive dont relève la combinatoire additive, est au coeur de plusieurs problèmes centraux, dont la fameuse conjecture abc. Un autre exemple important est la méthode du cercle de Hardy-Littlewood, qui repose sur l’approximation diophantienne et qui reste l’une des techniques les plus utilisées en théorie analytique des nombres.
L’axe MA2D interagit naturellement avec les autres axes du rt2n. Les questions d’irrationalité et de transcendance sont par exemple au coeur de l’approximation diophantienne et de l’axe EFI. Par ailleurs, l’introduction en théorie analytique des nombres de plusieurs outils de géométrie arithmétique, notamment les travaux de Deligne et Katz en cohomologie étale, ont conduit à des avancées majeures sur les sommes exponentielles. Il existe également des relations étroites entre les thématiques couvertes par l’axe MA2D et d’autres thématiques, incluant l’analyse et les systèmes dynamiques. Les relations avec le RT Analyse et Interactions (ANAIS) devraient naturellement se développer.
Organisation
L’axe MA2D a son propre bureau composé de Youness Lamzouri (responsable), Alain Plagne et Guillaume Ricotta.