Équations Fonctionnelles et Interactions

L’axe EFI structure une large communauté scientifique regroupant actuellement une centaine de membres, répartis sur 25 UMR qui couvrent largement le territoire. Celle-ci s’est constituée depuis quelques années autour de problèmes très divers faisant intervenir les équations fonctionnelles. Ici, on entend principalement les équations différentielles ordinaires, aux différences, aux q-différences, mahlériennes, linéaires ou algébriques, éventuellement multivariées, les équations de Painlevé… Les membres de l’axe EFI sont aussi bien théoriciens des nombres, spécialistes d’algèbre différentielle, géomètres, logiciens, combinatoristes, probabilistes, informaticiens, ou physiciens. Les interactions avec la théorie des nombres se développent selon quatre directions principales :

• Irrationalité, transcendance, indépendance algébrique de valeurs de fonctions spéciales (hypergéométriques, modulaires, fonctions L, fonctions E et G de Siegel et fonctions M de Mahler). Dans la lignée des travaux fondateurs de Siegel et Mahler, puis de Shidlowskii, Apéry, Chudnovsky, Nishioka, Nesterenko, André, Beukers, les différents types d’équations fonctionnelles vérifiées par les fonctions spéciales mises en jeu sont utilisées de façon cruciale pour obtenir des résultats de transcendance fonctionnelle, puis pour transférer ces derniers aux valeurs prises par ces fonctions. Ce thème très classique a connu des développements récents remarquables.
• L’artihmétique des courbes sur les corps finis. Suite aux travaux fondateurs de Carlitz et Drinfeld mettant en exergue le rôle fondamental joué par l’opérateur de Frobenius en caractéristique non nulle, la théorie arithmétique des corps de fonctions s’est naturellement développée autour de l’étude des équations aux Frobenius-différences et de leurs applications : transcendance, étude des valeurs spéciales de fonctions L associées aux motifs, analogue des formes modulaires en caractéristique p, approximation diophantienne sur les modules de Drinfeld, théorie des codes et algorithmique.
• La théorie des périodes. Cette théorie très riche se situe à l’interface de plusieurs grand domaines dont la géométrie, l’arithmétique, la combinatoire et les équations différentielles ordinaires. Les équations de Picard-Fuchs, associées à la variation des périodes de familles de variétés algébriques, sont au coeur de ce thème. L’axe EFI s’intéresse tant aux aspects théoriques qu’algorithmiques. Par exemple, le calcul formel et les récents algorithmes d’intégration permettent de calculer efficacement les équations de Picard-Fuchs associées à certaines familles de variétés ainsi que d’excellentes approximations numériques de périodes.
• L’interaction entre géométrie diophantienne, transcendance fonctionnelle et théorie des modèles (o-minimalité et théorie des corps différentiellement clos). Au coeur de ces interactions, se trouve par exemple la conjecture d’André-Oort qui caractérise les sous-variétés des variétés de Shimura contenant un ensemble dense de points spéciaux. Pour attaquer cette conjecture, Pila et Zannier ont développé une stratégie générale qui combine des arguments de comptage o-minimaux et des énoncés diophantiens sur les valeurs algébriques des uniformisantes des structures géométriques sous-jacentes. Ces derniers reposent de façon cruciale sur les résultats de transcendance fonctionnelle pour ces uniformisantes, lesquels sont intrinséquement liés aux équations différentielles algébriques associées.