Aspects algorithmiques de la théorie des nombres et ses applications

L’axe Aathéna structure la communauté française de recherche consacrée aux aspects algorithmiques et effectifs de la théorie des nombres et à leurs applications dans les sciences de l’information. Le domaine s’articule autour de plusieurs objectifs en constante interaction. Son aspect le plus fondamental vise au développement de solutions pour la manipulation algorithmique des objets de la théorie des nombres. Cette direction est particulièrement motivée par les objectifs suivants :

• L’algorithmisation de théorèmes souvent non effectifs de la théorie des nombres. Par exemple, bien que la finitude du groupe des classes d’idéaux d’un corps de nombres soit établie depuis le 19e siècle, la question algorithmique du calcul du nombre de classes reste un sujet de recherche actif.
• Le développement d’outils pour l’étude de questions fondamentales encore ouvertes. De grandes conjectures en théorie des nombres, telles que l’hypothèse de Riemann ou la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, ont une histoire ancrée dans l’exploration expérimentale. Ce type d’approche s’étend à un large éventail de problèmes, comme en témoigne l’effort d’algorithmisation des objets impliqués dans le programme de Langlands.

La dynamique de cette communauté est amplifiée depuis les années 1970 par ses applications aux sciences de l’information, notamment dans les domaines suivants.

• La cryptographie, dont l’objectif est de concevoir et d’analyser des systèmes d’information et de communication sécurisés. Cette sécurité est assurée par la difficulté supposée de problèmes calculatoires tels que la factorisation de grands entiers ou la recherche de vecteurs courts dans des réseaux euclidiens.
• La théorie des codes, en particulier l’étude des codes algébriques et géométriques. La conception de codes correcteurs d’erreurs se rattache à des problématiques comme les empilements compacts ou les variétés ayant de nombreux points rationnels.

Les membres de cet axe sont des théoriciens des nombres, des algorithmiciens, des cryptologues, ou des théoriciens des codes. L’axe Aathéna interagit ainsi avec les autres axes du rt2n, mais aussi avec le GDR IFM (Informatique Fondamentale et ses Mathématiques) et ses GT. Les liens sont particulièrement forts avec le GT C2 (Codage et Cryptographie) et le GT CF (Calcul Formel).