La géométrie arithmétique concerne principalement l’étude des variétés algébriques dans des contextes d’intérêts arithmétiques (variétés sur des corps de nombres, des corps finis, des anneaux d’entiers. . .). Elle mélange des techniques arithmétiques, algébriques et parfois analytiques et trouve des applications dans des domaines variés, dont certaines sont bien entendu au coeur de la théorie des nombres. Il s’agit d’un domaine très vaste qui comprend notamment la géométrie diophantienne, la dynamique arithmétique, la géométrie d’Arakelov, le programme de Langlands, les applications de la cohomologie étale aux sommes exponentielles, l’arithmétique des variétés de Shimura et des espaces de modules ainsi que l’étude des formes automorphes, des fonctions L, des périodes, des motifs, des systèmes locaux d’origine géométrique, des catégories tannakiennes, et des espaces perfectoïdes.
La géométrie arithmétique est très présente en France et, sous sa forme moderne, y est même née avec les travaux fondateurs de Weil et Grothendieck, puis Deligne. Les différents domaines de recherche qu’elle recouvre sont présents dans la plupart des laboratoires français de mathématiques fondamentales et comptent environ 150 membres permanents sur le territoire. Ils sont également bien représentés à travers le monde et la communauté française a déjà tissé de nombreux liens internationaux, notamment avec Londres, Zurich, Bâle et Freiburg pour n’en citer que quelques-uns.
L’axe Géométrie Arithmétique a des interactions naturelles avec les autres axes du rt2n, ainsi qu’avec d’autres RT. On peut par exemple penser aux liens avec la théorie des représentation et la théorie de Lie, avec la géométrie, et plus particulièrement la géométrie algébrique, ainsi qu’avec la logique suite à l’explosion récente de l’utilisation de la théorie des modèles en géométrie diophantienne. Enfin, les méthodes issues de la théorie de l’homotopie sont en plein essor et de plus en plus présentes en géométrie arithmétique, notamment suites aux travaux remarquables de Bhatt, Clausen, Morrow et Scholze.
Organisation
L’axe Géométrie Arithmétique a son propre bureau, composé de Giuseppe Ancona (responsable), Anna Cadoret, Sara Checcoli, Gabriel Dospinescu, Javier Fresán et Giada Grossi.